Jak napisać pracę magisterską z matematyki finansowej i aktuarialnej

Praca magisterska z matematyki finansowej albo aktuarialnej to nie jest projekt, który „da się zrobić na ostatnią chwilę”. To stwierdzenie nie jest ostrzeżeniem dla zasady – wynika z charakteru materiału. Masz do czynienia ze specjalizacją, gdzie promotor oczekuje sprawnych rachunków stochastycznych, implementacji numerycznych i znajomości regulacji branżowych jednocześnie. Ale właśnie dlatego, przy dobrej organizacji pracy, efekt końcowy bywa naprawdę solidny.

Ten poradnik przeprowadza przez cały proces: od wyboru tematu, przez dane i narzędzia, po typowe błędy, które zdarzają się nawet na dobrze przygotowanych obronach.

Jedno zastrzeżenie na wstępie: nie ma jednego „poprawnego” sposobu pisania tej pracy. Na różnych uczelniach promotorzy stawiają różne wymagania co do głębokości teorii, języka implementacji czy objętości. Zanim zaczniesz, zapytaj promotora wprost o jego oczekiwania. Ten poradnik daje ci ramy, które działają w większości przypadków.

Specyfika kierunku – co właściwie piszesz

Matematyka finansowa i aktuarialna to dwa blisko spokrewnione kierunki, ale z wyraźnie różnym akcentem.

Matematyka finansowa zajmuje się przede wszystkim:
– wyceną instrumentów pochodnych (opcje, forwardy, swapy, kontrakty terminowe),
– budową i optymalizacją portfela inwestycyjnego (teoria Markowitza, model CAPM, APT),
– wyceną obligacji i analizą krzywej dochodowości,
– zarządzaniem ryzykiem rynkowym (VaR, Expected Shortfall, stress testing).

Matematyka aktuarialna skupia się na:
– ubezpieczeniach życiowych i majątkowych (składki, rezerwy, polityka taryfowa),
– tablicach trwania życia i modelach demograficznych,
– rezerwach ubezpieczeniowych i ich wyznaczaniu metodą prospektywną i retrospektywną,
– reasekuracji i transferze ryzyka.

Obie specjalizacje łączy rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i metody numeryczne. Różnią się głównie kontekstem zastosowania i instytucjonalnym otoczeniem.

Warto wiedzieć, że te dwa nurty coraz częściej się przenikają. Solvency II – europejski system wymogów kapitałowych dla ubezpieczycieli – wymaga od aktuariuszy znajomości modeli rynkowych (wycena aktywów, VaR, modelowanie korelacji). Z kolei instytucje finansowe (banki, fundusze) zatrudniają specjalistów znających ryzyko ubezpieczeniowe przy produktach strukturyzowanych z komponentem ochronnym. Temat pracy, który łączy oba światy, zazwyczaj dobrze wyróżnia się na tle innych.

Instytucje, które pojawiają się w pracach z tego obszaru najczęściej, to:

• KNF (Komisja Nadzoru Finansowego) – nadzoruje rynek ubezpieczeniowy i kapitałowy w Polsce, publikuje coroczne raporty o stanie rynku ubezpieczeń (dostępne na knf.gov.pl);
• PIU (Polska Izba Ubezpieczeń) – branżowa organizacja sektora ubezpieczeniowego, wydaje dane statystyczne o składkach i odszkodowaniach;
• GUS – publikuje tablice trwania życia (ostatnie pełne: dane z 2022 r.), podstawowe źródło dla modeli aktuarialnych;
• Polskie Towarzystwo Aktuarialne (PTA) – stowarzyszenie zawodowe, organizuje egzaminy aktuarialne (DAE – Dyplomowany Aktuariusz Europy, SAE – Stowarzyszony Aktuariusz Europy);
• EIOPA (European Insurance and Occupational Pensions Authority) – europejski nadzór ubezpieczeniowy, publikuje dane w ramach Solvency II

Jeśli planujesz karierę jako aktuariusz, warto żeby promotor i temat pracy wiązały się z zakresem egzaminów PTA. To daje konkretny plus przy późniejszej rejestracji.

Jak wybrać między ścieżką finansową a aktuarialną?

Odpowiedź jest prosta: patrz na to, gdzie chcesz pracować po studiach. Matematyka finansowa otwiera drogę do banków inwestycyjnych, funduszy hedgingowych, działów risk management w instytucjach finansowych i domach maklerskich. Matematyka aktuarialna to przede wszystkim towarzystwa ubezpieczeniowe, fundusze emerytalne i działy compliance w instytucjach podlegających Solvency II.

Różnica jest też w kulturze pracy z modelami. W finansach modele są często krótkoterminowe, kalibrowane do rynku na bieżąco, podlegają ciągłym modyfikacjom. W aktuariacie modele są bardziej długoterminowe, konzerwatywne, z grubym marginesem bezpieczeństwa (prudency margins). Promotorzy zazwyczaj mają wyraźne preferencje – zapytaj, zanim wybierzesz temat.

Tematy prac – co da się zrobić w rozumnym czasie

Dobry temat pracy magisterskiej z matematyki finansowej lub aktuarialnej to taki, który ma trzy właściwości naraz: daje się zawęzić do konkretnego pytania badawczego, dostarcza rzeczywistych danych (nie tylko symulowanych), i ma mierzalny efekt końcowy (porównanie modeli, testy dopasowania, wynik empiryczny).

Poniżej kilka sprawdzonych tematów z zarysem tego, co trzeba w nich zrobić. Każdy z nich da się zrealizować w 8-12 miesięcy przy regularnej pracy, nie wymaga dostępu do płatnych baz danych poza możliwościami uczelni i ma wyraźnie mierzalny efekt końcowy:

1. Wycena opcji europejskich metodą Monte Carlo z modelem Blacka-Scholesa

Cel: implementacja symulatora cen akcji (geometryczny ruch Browna: dS = µS dt + σS dW), wycena ceny opcji call/put dla różnych N (liczba ścieżek: 1000, 10000, 100000, 1000000), porównanie z wynikami formuły analitycznej BS i analiza zbieżności. Dodatkowy wątek to quasi-Monte Carlo z ciągiem Haltona – zazwyczaj zbieżność jest szybsza niż dla generatora pseudolosowego.

2. Kalibracja modelu Vasicka do polskiej krzywej dochodowości

Model Vasicka to jeden z klasycznych modeli krótkoterminowej stopy procentowej: dr = a(b – r) dt + σ dW. Dane: krzywa dochodowości z NBP (SWAPCURVE) lub GPW. Kalibracja metodą najmniejszych kwadratów lub MLE. Wynik: parametry a, b, σ dla różnych okien czasowych i analiza ich stabilności.

3. Analiza wartości zagrożonej (VaR) portfela akcji WIG20

Trzy podejścia: VaR historyczny (percentyl z rozkładu empirycznego), VaR parametryczny (normalny lub t-Studenta) i CVaR/Expected Shortfall (ES). Dane: dzienne stopy zwrotu z 5 lat, np. ze strony Infostrefa GPW. Backtesting metodą Kupca (POF test: czy liczba przekroczeń VaR mieści się w przedziale ufności). Wynik: tabela porównująca skuteczność modeli przy poziomie ufności 95% i 99%.

4. Wyznaczanie składki netto i rezerwy matematycznej dla ubezpieczenia na życie ze zwrotem składki

Dane demograficzne: tablice GUS 2022. Metoda: prospektywna (rezerwa = EPV przyszłych świadczeń minus EPV przyszłych składek). Wariant rozszerzony: uwzględnienie stopy technicznej, modyfikacja przez koszty zarządzania polisą.

5. Modelowanie czasu do zdarzenia w ubezpieczeniach zdrowotnych

Regresja Coxa (proporcjonalne hazardy) i parametryczne modele przeżycia (Weibull, log-normalny). Dane: syntetyczne lub z publicznych baz (np. SEER dla nowotworów, jeśli praca ma charakter metodologiczny). Testy dopasowania: Kolmogorova-Smirnova, Andersona-Darlinga, chi-kwadrat.

6. Wycena swapu stopy procentowej IRS

Model krzywej dyskontowej oparty na SOFR lub WIBOR3M (uwaga: WIBOR jest w trakcie reformy na WIRON/SARON; warto omówić to jako element kontekstu rynkowego). Wycena IRS jako portfela obligacji zerokuponowych. Dane: fixingi WIBOR3M z NBP lub Bloomberg (dostęp akademicki przez uczelnię).

Wybierając temat, zwróć uwagę na to, żeby pytanie badawcze było konkretne i weryfikowalne. „Analiza modeli wyceny opcji” to za szeroko. „Porównanie zbieżności metody Monte Carlo i drzewa CRR dla opcji call na WIG20 przy N = 100, 500, 1000 kroków” – to jest temat, z którym można pracować.

Metodologia – od równań do kodu

Matematyka finansowa i aktuarialna wymagają dobrej metodologii na dwóch poziomach: matematycznym i implementacyjnym. Promotor będzie sprawdzał oba.

Rachunek stochastyczny

Podstawą większości prac z matematyki finansowej jest ciągły czas i procesy stochastyczne. Kluczowe elementy:

• ruch Browna standardowy (Wiener process) W(t) – właściwości: W(0) = 0, przyrosty niezależne, W(t) – W(s) ~ N(0, t-s);
• równania różniczkowe stochastyczne (SDE): postać ogólna dX = a(X,t) dt + b(X,t) dW, lemma Ito dla transformacji procesów;
• geometryczny ruch Browna jako model ceny akcji: dS = µS dt + σS dW, rozwiązanie analityczne S(t) = S(0) exp((µ – σ²/2)t + σW(t)).

Praca powinna zawierać wyprowadzenie używanych równań lub odesłanie do pełnego dowodu z cytowaniem źródła – nie wystarczy napisać „przyjmujemy model GBM”.

Symulacje Monte Carlo

Generator: Mersenne Twister (domyślny w R i Pythonie, ale warto to napisać wprost). Dla lepszej zbieżności: quasi-Monte Carlo z ciągiem Haltona lub Sobol – to dobry temat na rozdział metodologiczny, bo różnica w błędzie jest mierzalna.

Liczba ścieżek: w pracach magisterskich zazwyczaj 50 000 – 500 000 jest wystarczające dla opcji waniliowych. Dla opcji egzotycznych (azjatyckie, barierowe) może być potrzeba więcej lub techniki redukcji wariancji (antithetic variates, control variates).

Metody numeryczne

Dwa klasyczne podejścia uzupełniające Monte Carlo:

• Drzewa dwumianowe CRR (Cox-Ross-Rubinstein, 1979): dyskretna aproksymacja ruchu Browna; dobra do opcji amerykańskich (wcześniejsze wykonanie); zbieżność rośnie z N (liczba kroków);
• FDM (metoda różnic skończonych) dla równania PDE Blacka-Scholesa: schemat Cranka-Nicholsona (drugi rząd dokładności w czasie i przestrzeni); wymaga siatki (S, t) i warunków brzegowych; stosowana przy opcjach z dywidendami lub barierami

Narzędzia: R i Python

W R najczęściej używane pakiety:

• RQuantLib – interfejs do biblioteki QuantLib, wycena opcji, obligacji, instrumentów stopy procentowej;
• actuar – rozkłady ubezpieczeniowe (Pareto, log-normalny, Burr), agregacja strat;
• survival – analiza przeżycia (Kaplan-Meier, Cox PH, modele parametryczne);
• PerformanceAnalytics – ryzyko portfelowe, VaR, ES, współczynniki Sharpe’a

W Pythonie:

• QuantLib-Python (import QuantLib as ql) – odpowiednik RQuantLib; bogaty w typy instrumentów;
• scipy.stats – rozkłady prawdopodobieństwa, testy statystyczne (KS, AD, normtest);
• arch – modele GARCH i ich rozszerzenia (EGARCH, GJR-GARCH); przydatne przy modelowaniu zmienności;
• numpy, pandas – operacje na macierzach, szeregach czasowych;
• matplotlib, seaborn – wizualizacja

Wybór języka to decyzja praktyczna. Jeśli promotor lub większość kursu używała R – idź w R. Jeśli pracujesz w Pythonie na co dzień – Python jest lepszy, bo będziesz szybszy. Warto napisać w pracy, że kod jest dostępny jako załącznik lub repozytorium.

Nie kombinuj z egzotycznymi językami. Zdarzały się prace pisane w MATLAB, Julia czy nawet C++ – to ma sens tylko wtedy, gdy wydajność obliczeniowa jest kluczowa dla wyników (np. symulacje na kilku milionach ścieżek z wieloma zmiennymi ryzyka). W standardowej pracy magisterskiej czas obliczeniowy rzędu kilku minut na wyniki końcowe jest zupełnie wystarczający.

Jak opisać metodologię, żeby promotor był zadowolony?

Dobrze napisana sekcja metodologiczna odpowiada na trzy pytania: co robię, dlaczego to robię (a nie coś innego), i jak to zweryfikuję. Opis samego algorytmu bez uzasadnienia wyboru metody to za mało. Promocja na „używam MC bo tak” nie przejdzie – napisz, że wybrałeś Monte Carlo, bo opcja azjatycka nie ma rozwiązania analitycznego, a drzewo CRR wymaga O(N²) pamięci przy dużym N.

Każdy parametr, który szacujesz z danych (mu, sigma, q, parametry rozkładu), powinien mieć podany przedział ufności albo wynik testu bootstrap. To standard, który odróżnia pracę „z wynikami” od pracy „z liczbami”.

Testy statystyczne

• Kolmogorova-Smirnova (KS) – test zgodności rozkładu empirycznego z teoretycznym; niski p-value = rozkład nie pasuje;
• Andersona-Darlinga (AD) – bardziej czuły niż KS na ogony rozkładu; lepszy przy testowaniu normalności;
• Kupiec POF test – backtesting VaR: czy rzeczywista liczba przekroczeń mieści się w przedziale ufności zgodnym z poziomem VaR;
• bootstrap – nieparametryczna ocena niepewności estymatorów; przydatna gdy nie możesz założyć konkretnego rozkładu

Dane i bazy – gdzie szukać

Jakość danych to w pracach z matematyki finansowej często czynnik decydujący o tym, czy wyniki są wiarygodne. Poniżej konkretne źródła:

Dane rynkowe:
– Infostrefa GPW (gpwinfostrefa.pl) – ceny akcji, opcji na WIG20, historyczne dane z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie; dostęp dla osób fizycznych płatny, ale uczelnie często mają umowy;
– NBP (nbp.pl) – krzywa dochodowości SWAPCURVE, fixingi WIBOR, kursy walut; dane bezpłatne w formacie XML/CSV;
– stooq.pl – bezpłatne historyczne ceny akcji i indeksów; dobra alternatywa dla GPW Infostrefa przy ograniczonym budżecie.

Dane ubezpieczeniowe:
– KNF – Raport o stanie rynku ubezpieczeń (corocznie, dostępny na knf.gov.pl) – składki, odszkodowania, liczba umów, wypłacalność; dane zagregowane, nie indywidualne;
– PIU – dane statystyczne branży ubezpieczeniowej (piu.org.pl) – kwartalne i roczne statystyki według działów ubezpieczeń;
– GUS – tablice trwania życia (stat.gov.pl) – najnowsze opublikowane: dane bazowe z 2022 r.; zawierają prawdopodobieństwa zgonu q(x) i oczekiwane trwanie życia e(x) według płci i wieku.

Dane europejskie i globalne:
– EIOPA (eiopa.europa.eu) – dane Solvency II, stress testy europejskich ubezpieczycieli, krzywa stóp wolnych od ryzyka (RFR) używana do dyskontowania rezerw;
– Bloomberg / Refinitiv – profesjonalne bazy danych rynkowych; wiele uczelni ma dostęp akademicki przez serwisy typu Bloomberg Terminal w bibliotece.

Przy pobieraniu danych warto opisać w pracy: okres próby, częstotliwość (dzienne/tygodniowe/miesięczne), liczbę obserwacji i sposób obróbki (usuwanie weekendów, korekta dywidend, interpolacja brakujących danych). To podstawa sekcji metodologicznej i oszczędza pytań na obronie.

Jeden częsty problem: co zrobić, gdy dane są niedostępne publicznie? Komisja na obronie dobrze przyjmuje prace z danymi syntetycznymi, jeśli parametry symulacji są uzasadnione danymi z literatury lub raportów branżowych. Na przykład: jeśli nie masz dostępu do indywidualnych danych ubezpieczeniowych, możesz skalibrować rozkład strat do zagregowanych danych z raportów KNF i symulować portfel ubezpieczeń. Opisz to wprost w pracy zamiast przemilczać.

Ramy prawne – co warto znać

Prace z matematyki aktuarialnej i finansowej rzadko są czysto teoretyczne – dotykają regulowanej branży. Znajomość podstawowych aktów prawnych jest oczekiwana, szczególnie przy tematach związanych z rezerwami, wymogami kapitałowymi czy instrumentami pochodnymi.

Najważniejsze regulacje:

• Dyrektywa Solvency II 2009/138/WE (Parlamentu Europejskiego i Rady z 25.11.2009) – podstawa europejskiego systemu wypłacalności ubezpieczycieli; trzy filary: wymogi kapitałowe (SCR, MCR), nadzór, sprawozdawczość; dla prac o rezerwach technicznych szczególnie istotny Filar I;
• Rozporządzenie delegowane (UE) 2015/35 (Komisji z 10.10.2014) – wdrożenie Solvency II; zawiera szczegółowe wzory do obliczania SCR (Standard Formula), metodykę wyceny rezerw najlepszego oszacowania (Best Estimate);
• Ustawa z dnia 11.09.2015 r. o działalności ubezpieczeniowej i reasekuracyjnej (Dz.U. 2015 poz. 1844, ze zm.) – podstawowe prawo ubezpieczeniowe w Polsce; definiuje rodzaje ubezpieczeń, wymogi dla zakładów ubezpieczeń, rolę aktuariusza odpowiedzialnego;
• Ustawa z dnia 29.07.2005 r. o obrocie instrumentami finansowymi (Dz.U. 2005 nr 183 poz. 1538) – ramy prawne rynku kapitałowego w Polsce; definicje instrumentów pochodnych, obowiązki informacyjne;
• Rozporządzenie EMIR (WE) 648/2012 (Parlamentu Europejskiego i Rady z 4.07.2012) – obowiązek rozliczania instrumentów pochodnych OTC przez CCP (centralnych kontrahentów), wymogi dotyczące depozytu zabezpieczającego;
• MiFID II 2014/65/UE (Parlamentu Europejskiego i Rady z 15.05.2014) – regulacja rynków finansowych, wymogi przejrzystości, klasyfikacja klientów, ocena odpowiedniości instrumentów

Przy pracy o wycenie opcji lub VaR wystarczy zazwyczaj EMIR i MiFID II jako kontekst. Przy pracy o rezerwach lub składkach ubezpieczeniowych – Solvency II i ustawa o działalności ubezpieczeniowej to lektura obowiązkowa.

Typowe błędy – jak ich unikać

To jest sekcja, którą warto przeczytać dwa razy, bo te błędy pojawiają się regularnie nawet na obronach, które kończą się dobrą oceną.

1. Ceny bid zamiast mid przy kalibracji modelu

Dane rynkowe opcji mają ceny bid (kupno) i ask (sprzedaż). Do kalibracji modelu (np. dopasowania zmienności implikowanej) używaj ceny mid = (bid + ask) / 2. Używanie wyłącznie cen bid zaniża wycenę i przesuwa parametry modelu.

2. Ignorowanie dywidend w modelu Blacka-Scholesa

Klasyczny model BS zakłada brak dywidend. Dla akcji wypłacających dywidendy należy użyć modelu Mertona z dywidendą ciągłą (stopa dywidendy q): S(0) zastąpione przez S(0) * exp(-q * T). Pominięcie dywidend przy polskich blue-chipach (np. akcje z WIG20 Dywidendowy) może dawać błędy wyceny rzędu kilku procent.

3. Brak weryfikacji normalności logarytmicznych stóp zwrotu

Model BS zakłada, że logarytmiczne stopy zwrotu mają rozkład normalny. W praktyce rozkłady empiryczne mają grube ogony (fat tails). Test AD lub KS często odrzuca normalność dla dziennych danych. Dobra praca nie ignoruje tego – albo używa rozkładu t-Studenta, albo rozkładu NIG (Normal Inverse Gaussian), albo omawia konsekwencje tego odchylenia dla wyników.

4. Proste stopy zamiast logarytmicznych przy obliczaniu VaR

VaR obliczany na prostych stopach zwrotu r = (P(t) – P(t-1)) / P(t-1) daje inne wyniki niż na logarytmicznych r = ln(P(t)/P(t-1)). Logarytmiczne stopy zwrotu są addytywne w czasie, co ułatwia agregację i jest zgodne z założeniami modelu GBM. Wybór trzeba uzasadnić – i stosować go konsekwentnie przez całą pracę.

5. Błędne obliczenie rezerwy matematycznej

Dwa częste problemy: pominięcie kosztów zarządzania polisą (expense loading) i błędne wyznaczenie momentu czasu, dla którego liczymy rezerwę. Rezerwa prospektywna w chwili t to: V(t) = EPV(przyszłe świadczenia) – EPV(przyszłe składki netto), dyskontowane z uwzględnieniem prawdopodobieństw przeżycia z tablic GUS. Każdy z tych elementów musi być policzony dla tego samego punktu w czasie.

6. Testowanie modelu na tym samym zbiorze co kalibracja (data leakage)

To jest błąd metodologiczny, który promotorzy z doświadczeniem w machine learningu wychwytują natychmiast. Jeśli kalibrujesz parametry modelu na danych z lat 2018-2022, a potem testujesz go na tych samych danych – wyniki są bezwartościowe. Backtesting VaR czy weryfikacja modelu wyceny muszą odbywać się na danych out-of-sample (np. kalibracja na 2018-2021, test na 2022-2023).

7. Pominięcie ograniczeń modelu w podsumowaniu

Dobra praca magisterska nie kończy się na „model działa”. Napisz, w jakich warunkach model jest zawodny: model BS nie działa przy skokach cen (np. ogłoszenie bankructwa), model Vasicka dopuszcza ujemne stopy (co od 2014 roku jest mniej teoretyczne niż brzmi, ale wymaga komentarza), VaR historyczny zakłada stacjonarność rozkładów (problematyczna w czasie kryzysów). Wymienienie ograniczeń modelu to nie słabość pracy – to jej dojrzałość.

FAQ

Natalia Witek-Dąbrowska

Redaktorka i korektorka z 20-letnim doświadczeniem

Specjalizuję się w korekcie prac naukowych i dyplomowych. Jeśli potrzebujesz pomocy z tekstem, napisz do mnie.